微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

ステップ 1

$P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{4}{x^{2} - 1}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

ステップ 1.2.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2.2.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 1.2.2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 1.2.2.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x - 1)$ です。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.6

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.7.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.7.5.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

ステップ 1.2.2.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

ステップ 1.2.2.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A x - A + B x + B$

ステップ 1.2.2.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - A + B$

ステップ 1.2.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 1.2.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.3

$1 = 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.3.1

方程式を $2 B = 1$ として書き換えます。

$2 B = 1$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.3.2

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.3.2.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 1.2.2.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.4.2.1

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.5.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.5.3

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

ステップ 1.2.2.5.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

ステップ 1.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 1.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 1.2.5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 1.2.6

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2.6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.2.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 1.2.7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

ステップ 1.2.9

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.9.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.9.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.2.9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2.9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

ステップ 1.2.10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

ステップ 1.2.11

簡約します。

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

ステップ 1.2.12

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

ステップ 1.2.12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

ステップ 1.2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

ステップ 1.2.13.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| x - 1 |)$ をまとめます。

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

ステップ 1.2.13.2

公分母の分子をまとめます。

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

ステップ 1.2.13.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

ステップ 1.2.13.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

ステップ 1.2.13.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

ステップ 1.2.13.4

分配則を当てはめます。

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

ステップ 1.2.13.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

ステップ 1.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

ステップ 1.6

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1.8

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

ステップ 1.9

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

ステップ 1.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

ステップ 1.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.10

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.10.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.10.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.10.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.10.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

ステップ 1.10.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

ステップ 1.10.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1.11

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ に $x^{2} - 2 x + 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.12.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.12.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.12.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.4

まとめる。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.5

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x + 1$ を移動させます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.5.2

$x + 1$ に ${(x + 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2} (4 y)$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$x - 1$ を ${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.7

$4$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + 1)}^{3}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.4.2

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.4.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.1.2

$x - 1$ を $4 (x - 1) y$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.1.3

$x - 1$ を $(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.3

$- 1 \frac{d y}{d x}$ を $- \frac{d y}{d x}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.2

$x \frac{d y}{d x}$ から $\frac{d y}{d x} x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.2.1

$\frac{d y}{d x}$ を移動させます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.2.2

$x \frac{d y}{d x}$ から $x \frac{d y}{d x}$ を引きます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.6.5.3

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.7

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

ステップ 7.1.2

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

ステップ 7.2

両辺に ${(x + 1)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 7.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 7.3.1.2

式を書き換えます。

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 7.4

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ の各項を ${(x - 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ の各項を ${(x - 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例