微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{6 e^{y}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $e^{y}$ を掛けます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{6 e^{y}}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$e^{y}$ を $6 e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 6}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 6}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{6}$

ステップ 1.2.2

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ を $9 x^{8}$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{8})}{6}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{8})}{3 (2)}$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{8})}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{8}}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$e^{y} d y = \frac{3 x^{8}}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y} d y = \int \frac{3 x^{8}}{2} d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3 x^{8}}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} \int x^{8} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{8}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{9} x^{9}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{3}{2} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ を $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 9} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $9$ をかけます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3}{18} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$3$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3 (1)}{18} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.2.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{9} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = \frac{1}{6} x^{9} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{9}}{6} + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{9}}{6} + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{9}}{6} + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (\frac{x^{9}}{6} + K)$

微分積分 例

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