微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x}$

ステップ 1

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (x e^{x})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (x e^{x})$

ステップ 2.3

指数を足して $e^{2 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x} e^{2 x} x$

ステップ 2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x + 2 x} x$

ステップ 2.3.3

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$

ステップ 2.4

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{3 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{3 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{3 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{3 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int x e^{3 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = x$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 6.2.2

$x$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

ステップ 6.4

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.4.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 6.4.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.4.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 6.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 6.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

ステップ 6.7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

ステップ 6.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

ステップ 6.9

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

ステップ 6.10

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

ステップ 7

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{3 x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{2 x}$ を $\frac{1}{3} x e^{3 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{3} x e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{3} x e^{x}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{3} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{1}{3} x e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{3} e^{x} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$\frac{x}{3}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.3

$e^{3 x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.3.1

$e^{2 x}$ を $- \frac{1}{9} e^{3 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.3.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{e^{2 x} (- \frac{1}{9} e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x e^{x}}{3} + \frac{- \frac{1}{9} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.3.2.4

$- \frac{1}{9} e^{x}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{1}{9} e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7.3.1.4

$e^{x}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$y = \frac{x e^{x}}{3} - \frac{e^{x}}{9} + \frac{C}{e^{2 x}}$

微分積分 例

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