微分積分例

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$3 x^{4}$ を $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{4}$ を $3 x^{4} y^{6}$ で因数分解します。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

ステップ 1.1.2

$3 x^{4}$ を $- 6 x^{4}$ で因数分解します。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

ステップ 1.1.3

$3 x^{4}$ を $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ で因数分解します。

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{6} - 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

ステップ 1.3.2

$3$ と $\frac{1}{y^{6} - 2}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

ステップ 1.3.3

$y^{6} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$y^{6} - 2$ を $x^{4} (y^{6} - 2)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

ステップ 1.4

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{y^{6} - 2}$ と $y^{5}$ をまとめます。

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.2

$u = y^{6} - 2$ とします。次に $d u = 6 y^{5} d y$ すると、 $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = y^{6} - 2$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$y^{6} - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $y^{6} - 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$6 y^{5} + 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$6 y^{5}$ と $0$ をたし算します。

$6 y^{5}$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.3.2

$6$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $y^{6} - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ と $\ln (| y^{6} - 2 |)$ をまとめます。

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{3}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

ステップ 3.2.2.1.3

$6 \frac{3 x^{5}}{5}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$6$ と $\frac{3 x^{5}}{5}$ をまとめます。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$3$ に $6$ をかけます。

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ として書き換えます。

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

ステップ 3.5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ を $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

ステップ 4.3

$e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

ステップ 4.4

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

微分積分 例

微分積分例