微分積分例

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ の微分係数は $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

ステップ 1.3

総和則では、 $1 - x^{2} y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

ステップ 1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

ステップ 1.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

ステップ 1.6

$- x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- x^{2} y$ の微分係数は $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 1.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.7.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

ステップ 1.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

ステップ 2

$N (x, y) = y - x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

ステップ 2.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 1 = - 1$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 1 = - 1$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y - x d y$

ステップ 5

$N (x, y) = y - x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

ステップ 5.4

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$0$ から $y$ を引きます。

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 9.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ に $1 - x^{2} y$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

ステップ 9.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

分数 $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

ステップ 9.1.2.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

ステップ 9.1.2.2.2.1.2

$- 1 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

ステップ 9.1.2.2.2.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

ステップ 9.1.2.3

$\frac{1}{x^{2}} - y + y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.3.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 9.1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 10

$\frac{1}{x^{2}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 10.3

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 10.4

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 10.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$g (x) = - x^{- 1} + C$

ステップ 10.6

$- x^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

微分積分 例

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