微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 1)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (3 (y + 1))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y + 1} (y + 1)$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{1}{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

ステップ 1.2.3

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y + 1} (y + 1)$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = 3$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} d y = 3 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int 3 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 3 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 3 x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{3 x + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y + 1 |) = 3 x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3 x + C} = | y + 1 |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y + 1 | = e^{3 x + C}$ として書き換えます。

$| y + 1 | = e^{3 x + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 1 = \pm e^{3 x + C}$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm e^{3 x + C} - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{3 x + C}$ を $e^{3 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{3 x} e^{C} - 1$

ステップ 4.2

$e^{3 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{3 x} - 1$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{3 x} - 1$

微分積分 例

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