微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.4

括弧を削除します。

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.5

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.5.2

$e^{r x}$ を $- 3 r e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.5.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.5.4

$e^{r x}$ を $2 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.5.5

$e^{r x}$ を $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 3 x^{2} + 5$

ステップ 2.6

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} - 3 r + 2 = 3 x^{2} + 5$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 3.1.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} = 5$

ステップ 3.1.1.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} - 5 = 0$

ステップ 3.1.2

$2$ から $5$ を引きます。

$r^{2} - 3 r - 3 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 3 x^{2} - 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.6

$9$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7

$3$ を $12 x^{2} + 21$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.7.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7.2

$3$ を $21$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.7.3

$3$ を $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$9$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7

$3$ を $12 x^{2} + 21$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1.7.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7.2

$3$ を $21$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.7.3

$3$ を $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 3.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$9$ と $12$ をたし算します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

$3$ を $12 x^{2} + 21$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.7.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7.2

$3$ を $21$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7.3

$3$ を $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ で因数分解します。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

ステップ 6.2

$\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}}$

微分積分 例

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