微分積分例

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1.1

$\frac{\sin (x)}{1 + y}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

ステップ 1.1.1.1.2

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

ステップ 1.1.2

両辺に $1 + y$ を掛けます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

ステップ 1.1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$\cos (x) (1 + y)$ を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

ステップ 1.1.3.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

$\cos (x) + \cos (x) y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

$\cos (x)$ と $y \cos (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ の各項を $\sin (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ の各項を $\sin (x)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1.1

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.3.1.3

$y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 1.1.4.3.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

ステップ 1.2

$\cot (x)$ を $y \cot (x) + \cot (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$\cot (x)$ を $y \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

ステップ 1.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

ステップ 1.2.3

$\cot (x)$ を $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

ステップ 1.4

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$y + 1$ を $\cot (x) (y + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.3

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| \sin (x) |$ を掛けます。

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| \sin (x) |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} | \sin (x) |$ の因数を並べ替えます。

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.4.3.1

$\pm | \sin (x) | e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

ステップ 3.5.4.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | \sin (x) | - 1$

微分積分 例

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