微分積分例

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺を入れ替え、左辺に $\frac{d y}{d x}$ を得ます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

ステップ 1.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y^{2}$ を $15 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{15}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{1}{15}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{30}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$3$ を $30$ で因数分解します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$3 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

ステップ 3.4.2

$3 K$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

ステップ 3.4.4

$10$ に $3$ をかけます。

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.2

$\sqrt[3]{10}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

ステップ 3.4.7.5

${\sqrt[3]{10}}^{3}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{10}$ を $10^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

ステップ 3.4.7.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

ステップ 3.4.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

${\sqrt[3]{10}}^{2}$ を $\sqrt[3]{10^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

ステップ 3.4.8.2

$10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

ステップ 3.4.9

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.4.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

ステップ 3.4.9.2

$\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$

微分積分 例

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