微分積分例

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

ステップ 1.2

$f (y) = y$ および $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $2 x y^{2} - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y^{2}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.5

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.6

$4 x y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.5

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

ステップ 1.9

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$2 x y^{2} - 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

ステップ 1.9.2

$4 x y^{2}$ と $2 x y^{2}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

ステップ 1.9.3

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

ステップ 2

$N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} y^{2}$ の微分係数は $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

ステップ 2.5.2

$6 y^{2} x - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$6 y^{2} x - 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $6 y^{2} x - 3$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

ステップ 5

$M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

ステップ 5.3

$2 y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $2 y^{2}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

ステップ 5.5

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

ステップ 5.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

ステップ 5.7

簡約します。

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.2

総和則では、 $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$f (y) = y$ および $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $y^{2} x^{2} - 3 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ です。

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.3

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} x^{2}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.5

$- 3 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3 x$ の微分係数は $0$ です。

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.7

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.8

$2 x^{2} y$ と $0$ をたし算します。

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.9

$y$ を $1$ 乗します。

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.10

$y$ を $1$ 乗します。

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.13

$y^{2} x^{2} - 3 x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.14

$2 x^{2} y^{2}$ と $y^{2} x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.1

$y^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.3.14.2

$2 x^{2} y^{2}$ と $x^{2} y^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

ステップ 9.1.3

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

ステップ 9.1.3.2

$- 3 x + 4 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

ステップ 9.1.3.3

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

ステップ 9.1.3.4

$4 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

ステップ 10

$4 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 4 y d y$

ステップ 10.3

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 4 \int y d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$g (y) = 2 y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12.2.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

ステップ 12.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例