微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

$P (x) = x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int x d x}$

ステップ 1.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ を掛けます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

ステップ 2.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ とします。次に $d u_{1} = x d x$ すると、 $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 6.1.1.4

項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.4.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x$

ステップ 6.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2}$

ステップ 6.1.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2}$

ステップ 6.1.1.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.2

$u = e^{u_{1}}$ と $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.4

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.3.5

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.5.4

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.6

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ を $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ に書き換えます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 6.7.2

簡約します。

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ステップ 6.7.2.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ から $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を引きます。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

ステップ 6.7.2.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

ステップ 7

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ の各項を $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

ステップ 9

分子を0に等しくします。

$C = 0$

ステップ 10

$0$ を $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$0$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

ステップ 10.2

$0$ を $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ で割ります。

$y = 0$

微分積分 例

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