微分積分例

$x d x - 4 y d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x d x$ を引きます。

$- 4 y d y = - x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $y$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4

$- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4.2

$\frac{x^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4.3

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{K}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

ステップ 3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

ステップ 3.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

ステップ 3.3.5

$\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.1

$x^{2} - 2 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

ステップ 3.3.5.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.3.5.3

分数 $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

ステップ 3.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

微分積分 例

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