微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{\frac{3}{4}}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{\frac{1}{4}}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{4}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{4}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{4}$ の微分係数を取ります。

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ステップ 4.1

$v^{4}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{4}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 4.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = 4 u^{3} \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = 4 v^{3} \frac{d}{d x} [v]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = 4 v^{3} v'$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + 8 y = 2 x^{3} y^{\frac{3}{4}}$ の $4 v^{3} v'$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{4}$ を $y$ に代入します。

$4 v^{3} v' + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ の各項を $4 v^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$4 v^{3} \frac{d v}{d x} + 8 v^{4} = 2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ の各項を $4 v^{3}$ で割ります。

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 v^{3} \frac{d v}{d x}}{4 v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.2

$v^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{v^{3} \frac{d v}{d x}}{v^{3}} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.2.2

$\frac{d v}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v^{4}}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.3

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.3.1

$4$ を $8 v^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.3.2.1

$4$ を $4 v^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 (v^{3})} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{4 (2 v^{4})}{4 v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v^{4}}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.4

$v^{4}$ と $v^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.4.1

$v^{3}$ を $2 v^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3}} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{v^{3} (2 v)}{v^{3} \cdot 1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{1} = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.2.1.4.2.4

$2 v$ を $1$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$2$ を $2 x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{4 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$2$ を $4 v^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

ステップ 6.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{2 (x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}})}{2 (2 v^{3})}$

ステップ 6.1.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} {(v^{4})}^{\frac{3}{4}}}{2 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.3

${(v^{4})}^{\frac{3}{4}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{4 (\frac{3}{4})}}{2 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.4

$v^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3} v^{3}}{2 v^{3}}$

ステップ 6.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{x^{3}}{2}$

ステップ 6.1.2

孤立係数で方程式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + 2 v = \frac{1}{2} x^{3}$

ステップ 6.2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 6.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 6.3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{3})$

ステップ 6.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3}$

ステップ 6.3.4

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x}}{2} x^{3}$

ステップ 6.3.5

$\frac{e^{2 x}}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$

ステップ 6.3.6

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} x^{3}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$e^{2 x} v = \int \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \int x^{3} e^{2 x} d x$

ステップ 6.7.2

$u = x^{3}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

ステップ 6.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

ステップ 6.7.3.2

$x^{3}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x)$

ステップ 6.7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (3 x^{2}) d x)$

ステップ 6.7.3.4

$3$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x}}{2} x^{2} d x)$

ステップ 6.7.3.5

$\frac{3 e^{2 x}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{2} d x)$

ステップ 6.7.4

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{2 x} x^{2} d x))$

ステップ 6.7.5

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

ステップ 6.7.6

簡約します。

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ステップ 6.7.6.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

ステップ 6.7.6.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x))$

ステップ 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x))$

ステップ 6.7.6.4

$2$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x))$

ステップ 6.7.6.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

ステップ 6.7.6.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.6.6.1

共通因数を約分します。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x))$

ステップ 6.7.6.6.2

$e^{2 x} x$ を $1$ で割ります。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x))$

ステップ 6.7.7

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

ステップ 6.7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.8.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

ステップ 6.7.8.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)))$

ステップ 6.7.8.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)))$

ステップ 6.7.9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))))$

ステップ 6.7.10

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.7.10.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.7.10.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.7.10.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.7.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.7.10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.7.10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)))$

ステップ 6.7.11

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)))$

ステップ 6.7.12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))))$

ステップ 6.7.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.13.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)))$

ステップ 6.7.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

ステップ 6.7.14

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$

ステップ 6.7.15

$\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))))$ を $\frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u}}{8}) + C$

ステップ 6.7.16

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} (\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.17.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.17.2.1

まとめる。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17.2.2

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.17.2.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4}$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17.2.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17.2.3

まとめる。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8}) + C$

ステップ 6.7.17.2.4

$\frac{1}{2} (- \frac{3 e^{2 x}}{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.17.2.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3 e^{2 x}}{8}$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{2 \cdot 8} + C$

ステップ 6.7.17.2.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{1 (x^{3} e^{2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

ステップ 6.7.17.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.17.3.1

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

ステップ 6.7.17.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{1 (3 x e^{2 x})}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

ステップ 6.7.17.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{2 \cdot 4} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

ステップ 6.7.17.3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{16} + C$

ステップ 6.7.18

項を並べ替えます。

$e^{2 x} v = \frac{1}{4} x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3}}{4} e^{2 x} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.2

$\frac{x^{3}}{4}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{3}{8} x^{2} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.3

$x^{2}$ と $\frac{3}{8}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} e^{2 x} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.4

$e^{2 x}$ と $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3}{8} x e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.5

$\frac{3}{8}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x}{8} e^{2 x} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.6

$\frac{3 x}{8}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{3}{16} e^{2 x} + C$

ステップ 6.8.1.7

$e^{2 x}$ と $\frac{3}{16}$ をまとめます。

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$

ステップ 6.8.2

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

$e^{2 x} v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.8.2.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\frac{x^{3} e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = \frac{x^{3} e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.2

まとめる。

$v = \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 1}{4 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.3

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.8.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$v = \frac{x^{3} \cdot 1}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.4

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{x^{3}}{4} + \frac{- \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 3)}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.6

$3$ を $e^{2 x} x^{2}$ の左に移動させます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 \cdot (e^{2 x} x^{2})}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.7

$\frac{1}{e^{2 x}}$ に $\frac{3 e^{2 x} x^{2}}{8}$ をかけます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.8

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1.8.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 e^{2 x} x^{2}}{e^{2 x} \cdot 8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.8.2

式を書き換えます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{\frac{3 x e^{2 x}}{8}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.10

まとめる。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.11

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1.11.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x e^{2 x} \cdot 1}{8 e^{2 x}} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.11.2

式を書き換えます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.12

$3$ に $1$ をかけます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{- \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.13

分子に分母の逆数を掛けます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{e^{2 x} \cdot 3}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.14

$3$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 \cdot e^{2 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.15

$\frac{1}{e^{2 x}}$ に $\frac{3 e^{2 x}}{16}$ をかけます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.16

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.3.1.16.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 6.8.2.3.1.16.2

式を書き換えます。

$v = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 7

$y^{\frac{1}{4}}$ を $v$ に代入します。

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} - \frac{3}{16} + \frac{C}{e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例