微分積分例

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

ステップ 2

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ の各項を $10 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ の各項を $10 x y$ で割ります。

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

ステップ 2.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1.2.1

$y$ を $10 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

ステップ 2.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

ステップ 2.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

ステップ 2.1.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

ステップ 2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- \frac{y}{10 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 2.2.2

$\frac{y}{10 x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

ステップ 2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

ステップ 2.2.4.2

$y \cdot y$ を $y^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

ステップ 2.2.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

ステップ 2.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.4

両辺に $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ を掛けます。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

ステップ 2.5.2

$10 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$10 y$ を $10 y x$ で因数分解します。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

ステップ 2.5.3

$(1 + y) (1 - y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

ステップ 2.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.6

方程式を書き換えます。

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$10$ は $y$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.2

$u = (1 + y) (1 - y)$ とします。次に $d u = - 2 y d y$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$u = (1 + y) (1 - y)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$(1 + y) (1 - y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

ステップ 3.2.2.1.2

$f (y) = 1 + y$ および $g (y) = 1 - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

総和則では、 $1 - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.6.2

$- 1$ を $1 + y$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.6.3

$- 1 (1 + y)$ を $- (1 + y)$ に書き換えます。

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 3.2.2.1.3.7

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.2.2.1.3.8

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.2.2.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d y} [y]$ をたし算します。

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2.2.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

ステップ 3.2.2.1.3.11

$1 - y$ に $1$ をかけます。

$- (1 + y) + 1 - y$

ステップ 3.2.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

ステップ 3.2.2.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - y + 1 - y$

ステップ 3.2.2.1.4.2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- y + 0 - y$

ステップ 3.2.2.1.4.2.3

$- y$ と $0$ をたし算します。

$- y - y$

ステップ 3.2.2.1.4.2.4

$- y$ から $y$ を引きます。

$- 2 y$

ステップ 3.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 10$ をまとめます。

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7.2

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.2.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.7.2.2.4

$- 5$ を $1$ で割ります。

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.9

簡約します。

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.2.10

$u$ のすべての発生を $(1 + y) (1 - y)$ で置き換えます。

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.1.2

$- y$ に $1$ をかけます。

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

$y$ を移動させます。

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.2.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

対数の中の $5$ を移動させて $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ を簡約します。

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

ステップ 4.4

方程式の両辺に $\ln (| x |)$ を足します。

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

ステップ 4.5

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 4.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ を $1$ で割ります。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 4.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 4.5.3.1.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 4.5.3.1.3

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

ステップ 4.5.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

ステップ 4.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

ステップ 4.7

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

ステップ 4.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

ステップ 4.9

対数の定義を利用して $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

ステップ 4.10

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

方程式を ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ として書き換えます。

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

ステップ 4.10.2

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ の各項を $| x |$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.1

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ の各項を $| x |$ で割ります。

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

ステップ 4.10.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.2.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

ステップ 4.10.2.2.1.2

${| 1 - y^{2} |}^{5}$ を $1$ で割ります。

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

ステップ 4.10.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

ステップ 4.10.4

$\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.4.1

$\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ を $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ に書き換えます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

ステップ 4.10.4.2

$\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ をかけます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

ステップ 4.10.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.4.3.1

$\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ をかけます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

ステップ 4.10.4.3.2

$\sqrt[5]{| x |}$ を $1$ 乗します。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

ステップ 4.10.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

ステップ 4.10.4.3.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

ステップ 4.10.4.3.5

${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ を $| x |$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{| x |}$ を ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

ステップ 4.10.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

ステップ 4.10.4.3.5.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 4.10.4.3.5.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.4.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 4.10.4.3.5.4.2

式を書き換えます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

ステップ 4.10.4.3.5.5

簡約します。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

ステップ 4.10.4.4

${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ を $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ に書き換えます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

ステップ 4.10.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

ステップ 4.10.4.6

$\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ の因数を並べ替えます。

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

ステップ 4.10.5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

ステップ 4.10.6

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

ステップ 4.10.7

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

ステップ 4.10.8

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.10.8.1

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.10.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.10.8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.10.8.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.10.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.10.8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.10.8.3.1.1

$\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.10.8.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ を $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ に書き換えます。

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.10.8.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

ステップ 4.10.9

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

ステップ 5

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$

微分積分 例

微分積分例