微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y^{2} + 1$ を掛けます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

ステップ 1.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

ステップ 1.2.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

ステップ 1.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

ステップ 1.2.3.2

分配則を当てはめます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

ステップ 1.2.3.3

分配則を当てはめます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.4.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

ステップ 1.2.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

ステップ 1.2.4.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

ステップ 1.2.4.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

微分積分 例

微分積分例