微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 1.2

$x^{2} y^{2}$ を $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} y^{2}$ を $4 x^{3} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 1.2.2

$x^{2} y^{2}$ を $- 3 x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

ステップ 1.2.3

$x^{2} y^{2}$ を $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.1

$y^{2}$ を $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

ステップ 1.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

ステップ 1.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

ステップ 1.4.4

$- 3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

ステップ 1.4.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.4.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

ステップ 1.4.5.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.4.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

ステップ 1.4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

ステップ 1.4.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.5.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.5.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ として書き換えます。

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を $x^{4} y - x^{3} y + K y$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$y$ を $x^{4} y$ で因数分解します。

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$y$ を $- x^{3} y$ で因数分解します。

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

ステップ 3.3.2.4

$y$ を $y x^{4} + y (- x^{3})$ で因数分解します。

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

ステップ 3.3.2.5

$y$ を $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ で因数分解します。

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ の各項を $x^{4} - x^{3} + K$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ の各項を $x^{4} - x^{3} + K$ で割ります。

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$x^{4} - x^{3} + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$

微分積分 例

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