微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

ステップ 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- \frac{x^{2}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3

微分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 2.3.2.1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.3.2.1.3.4.2

$- 2$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.3.2.1.3.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

ステップ 2.3.2.1.3.4.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.4.4.1

$2$ を $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

ステップ 2.3.2.1.3.4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

ステップ 2.3.2.1.3.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.1.3.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

ステップ 2.3.2.1.3.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ を $1$ で割ります。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

ステップ 2.3.2.1.3.4.5

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

簡約します。

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$u_{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.4

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$

微分積分 例

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