微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

ステップ 1

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $\frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

ステップ 1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

ステップ 2

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{9}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 8}$

ステップ 3

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

ステップ 4

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

ステップ 5

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{8}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$v^{- \frac{1}{8}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

ステップ 5.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

ステップ 5.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{8}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.4.4.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.5.2

$n = \frac{1}{8}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.5.3

$u$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.7

$- 1$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.9.2

$1$ から $8$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.10

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.11

$\frac{1}{8}$ と $v^{- \frac{7}{8}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{7}{8}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.14

$\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.15

$\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 5.16

$\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ に $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5.17

指数を足して $v^{\frac{7}{8}}$ に $v^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.17.1

$v^{\frac{1}{4}}$ を移動させます。

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

ステップ 5.17.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

ステップ 5.17.3

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

ステップ 5.17.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.17.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

ステップ 5.17.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

ステップ 5.17.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

ステップ 5.17.6

$2$ と $7$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 6

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ の $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{8}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

ステップ 7

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ の各項に $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ の各項に $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1

$8 v^{\frac{9}{8}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.2

$8 v^{\frac{9}{8}}$ を $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5

指数を足して $v^{- \frac{1}{8}}$ に $v^{\frac{9}{8}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.2.1.5.1

$v^{\frac{9}{8}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.4

$9$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.5.5

$8$ を $8$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.6

$- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.7

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.8

$- 8$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.10

$v$ と $\frac{8}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.2.1.11

$8$ を $v$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

ステップ 7.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.3.2

$- \frac{1}{8} \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.3.2.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.3.2.2

$- 9$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.4

指数を足して $v^{- \frac{9}{8}}$ に $v^{\frac{9}{8}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.3.4.1

$v^{\frac{9}{8}}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

ステップ 7.1.1.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.4.4

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

ステップ 7.1.1.3.4.5

$0$ を $8$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 8 v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

ステップ 7.1.2

$v$ を $- \frac{8 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

ステップ 7.1.3

$v$ と $- \frac{8}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

ステップ 7.2

$P (x) = - \frac{8}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 7.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{8}{x}$ を積分します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 7.2.2.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 7.2.2.5

簡約します。

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

ステップ 7.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 8 \ln (x)}$

ステップ 7.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 8})}$

ステップ 7.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 8}$

ステップ 7.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{8}}$

ステップ 7.3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{8}}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

各項に $\frac{1}{x^{8}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{8}}$ と $\frac{d v}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.3

$\frac{8}{x}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.1

$\frac{8 v}{x}$ に $\frac{1}{x^{8}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1

$x$ に $x^{8}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.2.4.2.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{x^{8}}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

ステップ 7.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

ステップ 7.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

ステップ 7.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

ステップ 7.6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

ステップ 7.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

ステップ 7.7.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

ステップ 7.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

ステップ 7.7.3.2

$x^{8}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

ステップ 7.7.3.3

${(x^{8})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.7.3.3.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

ステップ 7.7.4

べき乗則では、 $x^{- 8}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ です。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

ステップ 7.7.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.5.1.1

$x^{- 7}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

ステップ 7.7.5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 7}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

ステップ 7.7.5.2

簡約します。

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

ステップ 7.7.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.5.3.1

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

ステップ 7.7.5.3.2

$8$ と $\frac{1}{7 x^{7}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

ステップ 7.8

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

方程式の両辺から $\frac{8}{7 x^{7}}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

ステップ 7.8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

ステップ 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{8}}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

ステップ 7.8.2

$v$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.2.1

方程式の両辺に $\frac{8}{7 x^{7}}$ を足します。

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

ステップ 7.8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

ステップ 7.8.3

両辺に $x^{8}$ を掛けます。

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

ステップ 7.8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.4.1.1

$x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

ステップ 7.8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

ステップ 7.8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.8.4.2.1

$(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.2

$x^{7}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.4.2.1.2.1

$x^{7}$ を $7 x^{7}$ で因数分解します。

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.2

$x^{7}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.2.4

式を書き換えます。

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.3

$\frac{8}{7}$ と $x$ をまとめます。

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

ステップ 7.8.4.2.1.4

$\frac{8 x}{7}$ と $C x^{8}$ を並べ替えます。

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

ステップ 8

$y^{- 8}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

微分積分 例

微分積分例