微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 5$ と $y (8) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (6 x - 5) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 6 x - 5 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 6 x - 5 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 5 d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 5 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$y + C_{1} = 3 x^{2} - 5 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 3 x^{2} - 5 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ の $8$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = 3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + K = 0$ として書き換えます。

$3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + K = 0$

ステップ 4.2

$3 \cdot 8^{2} - 5 \cdot 8 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 64 - 5 \cdot 8 + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $64$ をかけます。

$192 - 5 \cdot 8 + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$- 5$ に $8$ をかけます。

$192 - 40 + K = 0$

ステップ 4.2.2

$192$ から $40$ を引きます。

$152 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $152$ を引きます。

$K = - 152$

ステップ 5

$- 152$ を $y = 3 x^{2} - 5 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 152$ を $K$ に代入します。

$y = 3 x^{2} - 5 x - 152$

微分積分 例

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