微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = \sin (x)$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sin (x) d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int \sin (x) d x$

ステップ 5

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$x y = - \cos (x) + C$

ステップ 6

$x y = - \cos (x) + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x y = - \cos (x) + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例