微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = 3 x + 2$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u = 3 x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$3 x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.2

$u^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ として書き換えます。

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

ステップ 4.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

ステップ 4.2.3

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

ステップ 4.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

ステップ 4.2.4.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

ステップ 4.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

ステップ 4.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{3} + K = 1$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{4}{3}$ を引きます。

$K = 1 - \frac{4}{3}$

ステップ 4.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{3 - 4}{3}$

ステップ 4.3.4

$3$ から $4$ を引きます。

$K = \frac{- 1}{3}$

ステップ 4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{1}{3}$

ステップ 5

$- \frac{1}{3}$ を $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{1}{3}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

二項定理を利用します。

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2

$3$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.3

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.5

$27$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.6

$2$ に $108$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.7

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.8

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.9

$9$ に $6$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.11

$4$ に $54$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.12

$3$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.13

$2$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.14

$8$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.15

$2$ を $4$ 乗します。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.1.2

$3$ を $81 x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.1.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.1.4

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.2

$27$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{27}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.4

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$12$ を $216 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.5

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.5.1

$12$ を $216 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.5.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.5.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.6

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.6.1

$12$ を $96 x$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.7

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.7.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.7.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.7.4

式を書き換えます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.4.8

$\frac{1}{3}$ と $4$ をまとめます。

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

ステップ 5.4

$4$ から $1$ を引きます。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

ステップ 5.5

$3$ を $3$ で割ります。

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$

微分積分 例

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