微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

ステップ 1

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

ステップ 1.3.1.1.2

$\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

ステップ 1.3.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{y}{x})$ を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3

$\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

$\sin (\frac{y}{x})$ と $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3.2

$\sin (\frac{y}{x})$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3.3

$\sin (\frac{y}{x})$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$\sin (\frac{y}{x})$ を $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2.2

分数を分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

ステップ 1.3.2.3

$\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ を $\tan (\frac{y}{x})$ に変換します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

ステップ 1.3.2.4

$\sin (\frac{y}{x})$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$V + \sin (V) \tan (V)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (V)$ を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2

$\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1.2.1

$\sin (V)$ と $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2.2

$\sin (V)$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2.3

$\sin (V)$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.2.1

$\sin (V)$ を $\sin^{2} (V)$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.2.2

分数を分解します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.1.1.2.3

$\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ を $\tan (V)$ に変換します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

ステップ 6.1.1.1.1.2.4

$\sin (V)$ を $1$ で割ります。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$V + \sin (V) \tan (V) - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$\sin (V) \tan (V)$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

ステップ 6.1.1.2.3

正弦と余弦に関して $\tan (V)$ を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.4

$\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.4.1

$\sin (V)$ と $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.4.2

$\sin (V)$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.4.3

$\sin (V)$ を $1$ 乗します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.5

$\sin (V)$ を $\sin^{2} (V)$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.6

分数を分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

ステップ 6.1.1.2.7

$\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ を $\tan (V)$ に変換します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

ステップ 6.1.1.2.8

$\sin (V)$ を $1$ で割ります。

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

ステップ 6.1.3

$\sin (V) \tan (V)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

$\frac{1}{\sin (V)}$ を $\csc (V)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (V)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ で割ります。

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.5

$\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ を $\cot (V)$ に変換します。

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$- \csc (V)$ の微分係数が $\cot (V) \csc (V)$ なので、 $\cot (V) \csc (V)$ の積分は $- \csc (V)$ です。

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2.2

$\csc (V)$ を $1$ で割ります。

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.2

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $V$ を取り出します。

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$

微分積分 例

微分積分例