微分積分例

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 + 3 y + 3 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

ステップ 2

$N (x, y) = x + 2 x y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$6 y + 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$6 y + 3 = 2 y + 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$6 y + 3 = 2 y + 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6 y + 3$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$2 y + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

ステップ 4.3

$x + 2 x y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x + 2 x y$ を $N$ に代入します。

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.4

$6 y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6

$2$ を $4 y + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$2$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6.3

$2$ を $2 (2 y) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x + 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

ステップ 4.3.3.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (2 y)$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

ステップ 4.3.4

$2 y + 1$ と $1 + 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

ステップ 4.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 5.3

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

ステップ 5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

ステップ 5.4.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

ステップ 5.4.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{2} + C$

ステップ 6

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ の両辺に積分因子 $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 + 3 y + 3 y^{2}$ に $x^{2}$ をかけます。

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

ステップ 6.3

$x + 2 x y$ に $x^{2}$ をかけます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

ステップ 6.6.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

ステップ 6.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

ステップ 6.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

ステップ 8.3

$2 x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x^{3}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

ステップ 8.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.5

簡約します。

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

ステップ 8.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

ステップ 8.6.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

ステップ 8.6.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{3} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.3.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.4

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{3} y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.4.3

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 11.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 12.1.3

$3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$3 y x^{2}$ と $- 3 x^{2} y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 12.1.3.2

$3 x^{2} y$ から $3 x^{2} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 12.1.3.3

$3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 12.1.3.4

$3 y^{2} x^{2}$ と $- 3 x^{2} y^{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 12.1.3.5

$3 x^{2} y^{2}$ から $3 x^{2} y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

ステップ 12.1.3.6

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

ステップ 13

$3 x^{2}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 13.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{3} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例