微分積分例

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

ステップ 1

$V = \frac{y}{t}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{t}$ に代入します。

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{t}$ を解きます。

$y = V t$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $t$ について $y = V t$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

ステップ 4

$t \frac{d V}{d t} + V$ を $\frac{d y}{d t}$ に代入します。

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d t}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d t}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$- V$ から $V$ を引きます。

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

ステップ 5.1.1.2

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ の各項を $t$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ の各項を $t$ で割ります。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

ステップ 5.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

ステップ 5.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

ステップ 5.1.2.2

$2$ を $- 2 V + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

$2$ を $- 2 V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

ステップ 5.1.2.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

ステップ 5.1.2.2.3

$2$ を $2 (- V) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

ステップ 5.1.3

両辺に $\frac{1}{- V + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

ステップ 5.1.4

$- V + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- V + 1$ を $2 (- V + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

ステップ 5.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

ステップ 5.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

ステップ 5.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$u = - V + 1$ とします。次に $d u = - d V$ すると、 $- d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$u = - V + 1$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.2.6

$u$ のすべての発生を $- V + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

ステップ 5.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

ステップ 5.2.3.3

簡約します。

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

ステップ 5.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| t |)$ を簡約します。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

ステップ 5.3.2.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| t |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺に $\ln (t^{2})$ を足します。

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

ステップ 5.3.4

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

ステップ 5.3.4.2.2

$\ln (| - V + 1 |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3.1.2

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3.1.3

$\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

ステップ 5.3.4.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (t^{2})$ を $- \ln (t^{2})$ に書き換えます。

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

ステップ 5.3.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

ステップ 5.3.6

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

ステップ 5.3.7

$\ln (| - V + 1 | t^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

ステップ 5.3.8

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

ステップ 5.3.9

対数の定義を利用して $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

ステップ 5.3.10

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

方程式を $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ として書き換えます。

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

ステップ 5.3.10.2

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ の各項を $t^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.2.1

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ の各項を $t^{2}$ で割ります。

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

ステップ 5.3.10.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.2.2.1

$t^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

ステップ 5.3.10.2.2.1.2

$| - V + 1 |$ を $1$ で割ります。

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

ステップ 5.3.10.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

ステップ 5.3.10.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

ステップ 5.3.10.5

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.5.1

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.10.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.10.5.2.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.10.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.10.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ を $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ に書き換えます。

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.10.5.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

ステップ 5.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

積分定数を簡約します。

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

ステップ 5.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

ステップ 6

$\frac{y}{t}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

両辺に $t$ を掛けます。

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$\frac{1}{t^{2}}$ と $C$ をまとめます。

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

ステップ 7.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

ステップ 7.2.2.1.3

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.3.1

$- \frac{C}{t^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

ステップ 7.2.2.1.3.2

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

ステップ 7.2.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

ステップ 7.2.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

ステップ 7.2.2.1.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.4.1

$t$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- C}{t} + t$

ステップ 7.2.2.1.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{C}{t} + t$

ステップ 7.2.2.1.4.3

$- \frac{C}{t}$ と $t$ を並べ替えます。

$y = t - \frac{C}{t}$

微分積分 例

微分積分例