微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\sin (y) + y \cos (y)$ を掛けます。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2

$\sin (y) + y \cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (e^{x})$ を簡約します。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2.1.3

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2.1.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.2

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.3

$u = y$ と $d v = \cos (y)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.4

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

簡約します。

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$- \cos (y)$ と $\cos (y)$ をたし算します。

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.2.5.2.2

$y \sin (y)$ と $0$ をたし算します。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$x \log (e^{2 x}) + 1$ を $x (2 x \log (e)) + 1$ に書き換えます。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

ステップ 2.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

ステップ 2.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

ステップ 2.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

ステップ 2.3.4

$2 \log (e)$ は $x$ に対して定数なので、 $2 \log (e)$ を積分の外に移動させます。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.3

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

ステップ 2.3.7.4

項を並べ替えます。

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$

微分積分 例

微分積分例