微分積分例

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

$1$ に $e^{2 y}$ をかけます。

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 3

$N (x, y) = y + 2 x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $y + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

ステップ 3.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = 2$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 + 0}{M}$

ステップ 5.3

$1$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{2 + 0}{1}$

ステップ 5.3.2

$2 + 0$ を $1$ で割ります。

$2 + 0$

ステップ 5.3.3

$1$ を $M$ に代入します。

$2$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int 2 d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

ステップ 6.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

ステップ 7

$d x + (y + 2 x) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{2 y}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$1$ に $e^{2 y}$ をかけます。

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

ステップ 7.2

$y + 2 x$ に $e^{2 y}$ をかけます。

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

ステップ 9

$M (x, y) = e^{2 y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.2

総和則では、 $e^{2 y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{2 y} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.6

$2$ を $e^{2 y}$ の左に移動させます。

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.3.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 12.5.2

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $2 x e^{2 y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

ステップ 13.1.2

$y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.2.1

$2 x e^{2 y}$ から $2 x e^{2 y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

ステップ 13.1.2.2

$y e^{2 y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

ステップ 14

$y e^{2 y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

ステップ 14.3

$u = y$ と $d v = e^{2 y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

ステップ 14.4

簡約します。

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ステップ 14.4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 y}$ をまとめます。

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

ステップ 14.4.2

$y$ と $\frac{e^{2 y}}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

ステップ 14.5

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

ステップ 14.6

括弧を削除します。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

ステップ 14.7

$u = 2 y$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.7.1

$u = 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 14.7.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 14.7.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 14.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 14.7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 14.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 14.8

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 14.9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 14.10

簡約します。

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ステップ 14.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 14.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 14.11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 14.12

$\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 14.13

$u$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

ステップ 16

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ を簡約します。

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ステップ 16.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

ステップ 16.1.2

$\frac{y}{2}$ と $e^{2 y}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

ステップ 16.1.3

$e^{2 y}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.2

$e^{2 y} x$ から $\frac{e^{2 y}}{4}$ を引きます。

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ステップ 16.2.1

$e^{2 y}$ と $x$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.2.2

$x e^{2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.2.3

$x e^{2 y}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.3

分子を簡約します。

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ステップ 16.3.1

$4$ を $x e^{2 y}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.3.2

$e^{2 y}$ を $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ で因数分解します。

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ステップ 16.3.2.1

$e^{2 y}$ を $4 x e^{2 y}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

ステップ 16.3.2.2

$e^{2 y}$ を $- e^{2 y}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

ステップ 16.3.2.3

$e^{2 y}$ を $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.4

$\frac{y e^{2 y}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 16.5.1

$\frac{y e^{2 y}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.6

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.7

分子を簡約します。

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ステップ 16.7.1

$e^{2 y}$ を $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 16.7.1.1

$e^{2 y}$ を $y e^{2 y} \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.7.1.2

$e^{2 y}$ を $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

ステップ 16.7.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$

微分積分 例

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