微分積分例

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $7 d x$ を足します。

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{1 - x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1 - x^{2}$ を $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ と $7$ をまとめます。

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = 3 y$ とします。次に $d u_{1} = 3 d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = 3 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$3 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 y]$

ステップ 4.2.1.1.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 4.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.2

$\cos (u_{1})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.4

$\cos (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $\sin (u_{1})$ です。

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $3 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 4.3.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x}$

ステップ 4.3.2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(1 + x) (1 - x)$ です。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.4

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.1.2

$(A) (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.1.6.5.2

$(B) (1 + x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

ステップ 4.3.2.1.6.6

分配則を当てはめます。

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

ステップ 4.3.2.1.6.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A - A x + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.1

$A$ を移動させます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$1 = A - x A + B + B x$

ステップ 4.3.2.1.7.3

$B$ を移動させます。

$1 = A - x A + B x + B$

ステップ 4.3.2.1.7.4

$A$ を移動させます。

$1 = - x A + B x + A + B$

ステップ 4.3.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 4.3.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

ステップ 4.3.2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 4.3.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1

$- 1 (1 - B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

$B$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3

$0 = - 1 + 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.1

方程式を $- 1 + 2 B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.2.1

$1 - (\frac{1}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.4.2.1.3

$2$ から $1$ を引きます。

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2.4

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 + x}$ をかけます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

ステップ 4.3.2.5.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{1 - x}$ をかけます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

ステップ 4.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.5

$u_{2} = 1 + x$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$u_{2} = 1 + x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 4.3.5.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.5.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.3.5.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.3.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

ステップ 4.3.7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

ステップ 4.3.8

$u_{3} = 1 - x$ とします。次に $d u_{3} = - d x$ すると、 $- d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

$u_{3} = 1 - x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.3.8.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.3.8.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 4.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 4.3.10

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

ステップ 4.3.11

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

ステップ 4.3.12

簡約します。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.13.2

$u_{3}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

ステップ 4.3.14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 y)$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

ステップ 5.1.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + x |)$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

ステップ 5.1.2.1.1.2

$\ln (| 1 - x |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

ステップ 5.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

ステップ 5.1.2.1.3

$7$ と $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

ステップ 5.1.2.1.4

$7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.4.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

ステップ 5.1.2.1.4.2

$- 7$ と $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

ステップ 5.1.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

ステップ 5.2

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ の各項に $6$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ の各項に $6$ を掛けます。

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.2.2

$2$ を $\sin (3 y)$ の左に移動させます。

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.2

$3$ に $7$ をかけます。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.3.1

$- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.3.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.3.3

共通因数を約分します。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.3.4

式を書き換えます。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.4

$3$ に $- 7$ をかけます。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

ステップ 5.2.3.1.5

$6$ を $C$ の左に移動させます。

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

対数の中の $21$ を移動させて $21 \ln (| 1 + x |)$ を簡約します。

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

ステップ 5.3.1.1.2

対数の中の $21$ を移動させて $- 21 \ln (| 1 - x |)$ を簡約します。

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

ステップ 5.3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

ステップ 5.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

ステップ 5.5

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

ステップ 5.6

方程式の両辺から $6 C$ を引きます。

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

ステップ 5.7

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

ステップ 5.7.2.1.2

$\sin (3 y)$ を $1$ で割ります。

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

ステップ 5.7.3.1.2

$- 6$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.2.1

$- 2$ を $- 6 C$ で因数分解します。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

ステップ 5.7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.1.2.2.1

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

ステップ 5.7.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

ステップ 5.7.3.1.2.2.4

$3 C$ を $1$ で割ります。

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

ステップ 5.8

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

ステップ 5.9

右辺を簡約します。

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ステップ 5.9.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.9.1.1

$\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ に書き換えます。

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ を簡約します。

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.3

積の法則を $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ に当てはめます。

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.4

${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.9.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.4.2

$21$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.5

${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

ステップ 5.9.1.5.2

$21$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

ステップ 5.10

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.10.1

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

ステップ 5.10.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.10.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

ステップ 5.10.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$

微分積分 例

微分積分例