微分積分例

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $d x$ を引きます。

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.2

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ を $x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ を $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3.2.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 4.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$- (- x^{- 1} + C_{2})$ を $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2

簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.3.4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

ステップ 5.2

$\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

ステップ 5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

ステップ 5.2.3

$\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 5.2.4

$\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.2.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.2.5.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

ステップ 5.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.2.5.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

ステップ 5.2.5.5

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.5.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.2.5.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.2.5.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.2.5.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.2.5.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

ステップ 5.2.5.5.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

ステップ 5.2.6

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

ステップ 5.2.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

ステップ 5.2.8

$\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$

微分積分 例

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