微分積分例

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $y d x$ を足します。

$(1 - x) d y = y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(1 - x) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$1 - x$ を $(1 - x) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

ステップ 3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を $(1 - x) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.3.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 4.3.2

分数を複数の分数に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 4.3.5

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 4.3.6

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

ステップ 5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

ステップ 5.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

ステップ 5.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (| y - y x |) = C$

ステップ 5.6

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

ステップ 5.7

対数の定義を利用して $\ln (| y - y x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y - y x |$

ステップ 5.8

$y$ について解きます。

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ステップ 5.8.1

方程式を $| y - y x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| y - y x | = e^{C}$

ステップ 5.8.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - y x = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.3

$y$ を $y - y x$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.3.1

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.3.2

$y$ を $- y x$ で因数分解します。

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.3.3

$y$ を $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ で因数分解します。

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.5

$y (1 - x) = \pm e^{C}$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.8.5.1

$y (1 - x) = \pm e^{C}$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

ステップ 5.8.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.5.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

ステップ 5.8.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{1 - x}$

微分積分 例

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