微分積分例

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(x - 3) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.3

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

ステップ 1.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.8

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.9

$y$ に $1$ をかけます。

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

ステップ 5.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

ステップ 6

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ の各項を $x - 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ の各項を $x - 3$ で割ります。

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$

微分積分 例

微分積分例