微分積分例

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

ステップ 1.2.2

$4$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

ステップ 1.2.3

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

ステップ 1.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.2

$y^{- 2} (y^{2} - 1)$ を掛けます。

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

指数を足して $y^{- 2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3.1.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3.2

$y^{0}$ を簡約します。

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3.3

$- 1$ を $y^{- 2}$ の左に移動させます。

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.3.4

$- 1 y^{- 2}$ を $- y^{- 2}$ に書き換えます。

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.7

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

簡約します。

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

ステップ 2.2.8.2.2

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ を $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ に書き換えます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.2

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ の各項に $y$ を掛けます。

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3.5

$a = - 1$ 、 $b = 2 x^{2} + K$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.3

${(2 x^{2} + K)}^{2}$ を $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.4.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.4.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.4.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.1.5

$K$ に $K$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.2

$2 x^{2} K$ と $2 K x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.5.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.5.2.2

$2 K x^{2}$ と $2 K x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.6

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.6.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.7

因数分解した形で $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.7.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.7.1.1

$4 x^{4}$ を ${(2 x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.7.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

ステップ 3.3.6.1.7.1.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.7.1.4

$a = 2 x^{2}$ と $b = K$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.1.7.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x^{2} + K$ であり、 $b = 2$ です。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

ステップ 3.3.6.3

$\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ を簡約します。

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

ステップ 3.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例