微分積分例

$\frac{d F}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $F (0) = - 9$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d F = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d F = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$F + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$F + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

ステップ 2.3.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$F + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$F + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

ステップ 2.3.4

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$F + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

ステップ 2.3.5

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$F + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$F + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$F + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$F + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$F = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $F = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ の $0$ を $x$ に、 $- 9$ を $F$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 9 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 9$ として書き換えます。

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 9$

ステップ 4.2

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 9$

ステップ 4.2.1.2

$- \frac{5}{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 9$

ステップ 4.2.1.2.2

$0$ に $\frac{5}{3}$ をかけます。

$0 - 5 e^{0} + K = - 9$

ステップ 4.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 9$

ステップ 4.2.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5 + K = - 9$

ステップ 4.2.2

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5 + K = - 9$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$K = - 9 + 5$

ステップ 4.3.2

$- 9$ と $5$ をたし算します。

$K = - 4$

ステップ 5

$- 4$ を $F = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 4$ を $K$ に代入します。

$F = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 4$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x^{3}$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$F = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 4$

ステップ 5.2.2

$5$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$F = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 4$

微分積分 例

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