微分積分例

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

$16$ は $t$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.5

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ の $π$ を $t$ に、 $- 3$ を $v$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ として書き換えます。

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8 π^{2} - \tan (π) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

ステップ 4.2.1.1.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.1.3

$- - 0$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

ステップ 4.2.1.2

$8 π^{2}$ と $0$ をたし算します。

$8 π^{2} + K = - 3$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $8 π^{2}$ を引きます。

$K = - 3 - 8 π^{2}$

ステップ 5

$- 3 - 8 π^{2}$ を $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3 - 8 π^{2}$ を $K$ に代入します。

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$

微分積分 例

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