微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{8 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 8 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 1 + x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 + x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$1 + x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2}$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

ステップ 2.3.3.2

$3$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 2.3.5

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{8}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $\frac{8}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{8}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$8$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{16}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $1 + x^{3}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{16}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{16}{3} {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

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