微分積分例

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 6 x + y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $6 x + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$6 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

ステップ 1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

ステップ 2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $y (2 x + 3 y)$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $2 x + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.7

$3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

ステップ 2.8.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 y = 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$y (2 x + 3 y)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

ステップ 5.1.2

括弧を削除します。

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

ステップ 5.1.3

$y$ と $2$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

ステップ 5.1.4

括弧を削除します。

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

ステップ 5.1.5

$y$ と $3$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

ステップ 5.1.6

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

ステップ 5.1.7

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

ステップ 5.1.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

ステップ 5.1.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

ステップ 5.1.10

$2 y x$ と $3 y^{2}$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

ステップ 5.3

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

ステップ 5.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

ステップ 5.5

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

ステップ 5.6

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 5.7

簡約します。

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8

簡約します。

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ステップ 5.8.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.3

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.4

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.5

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.7

$2$ に $x$ をかけます。

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.8.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

ステップ 5.8.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.2.2

$y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.3.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

$0$ と $y^{2}$ をたし算します。

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

ステップ 9.1.2

$6 x + y^{2} - y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

ステップ 10

$6 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 6 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 6 x d x$

ステップ 10.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 6 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$6$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$g (x) = 3 x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$

微分積分 例

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