微分積分例

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 2

$N (x, y) = - 2 (x + y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

ステップ 2.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 (x + y)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

ステップ 2.6.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = - 2$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = - 2$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 + 0}{M}$

ステップ 4.3

$1$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 + 0}{1}$

ステップ 4.3.2

$- 2 + 0$ を $1$ で割ります。

$- 2 + 0$

ステップ 4.3.3

$1$ を $M$ に代入します。

$- 2$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - 2 d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

ステップ 6

$1$ に $e^{- 2 y}$ をかけます。

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = e^{- 2 y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{- 2 y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{- 2 y} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 y$ で置き換えます。

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.3

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.3.6

$- 2$ を $e^{- 2 y}$ の左に移動させます。

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 11.5.2

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $2 x e^{- 2 y}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

ステップ 12.1.2

$- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$- 2 x e^{- 2 y}$ と $2 x e^{- 2 y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$- 2 y e^{- 2 y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

ステップ 13

$- 2 y e^{- 2 y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

ステップ 13.3

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

ステップ 13.4

$u = y$ と $d v = e^{- 2 y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

ステップ 13.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$e^{- 2 y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

ステップ 13.5.2

$y$ と $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

ステップ 13.5.3

$e^{- 2 y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

ステップ 13.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

ステップ 13.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

ステップ 13.7.2

$\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ に $1$ をかけます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

ステップ 13.8

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

ステップ 13.9

$u = - 2 y$ とします。次に $d u = - 2 d y$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.9.1

$u = - 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.9.1.1

$- 2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 13.9.1.2

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 13.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 13.9.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 13.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

ステップ 13.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

ステップ 13.10.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 13.11

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

ステップ 13.12

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

ステップ 13.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.13.1

括弧を削除します。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 13.13.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 13.13.3

$2$ に $2$ をかけます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 13.14

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 13.15

$- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.16.1

$y$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.16.2

$e^{- 2 y}$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13.16.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

ステップ 13.17

$u$ のすべての発生を $- 2 y$ で置き換えます。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.1

分配則を当てはめます。

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.2.1

$- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.2.3

共通因数を約分します。

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.2.4

式を書き換えます。

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.4

$e^{- 2 y}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

ステップ 13.18.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.5.1

$- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

ステップ 13.18.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

ステップ 13.18.5.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 13.18.5.4

共通因数を約分します。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 13.18.5.5

式を書き換えます。

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.6.2

$- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.6.2.2

$\frac{e^{- 2 y}}{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.7

公分母を利用して $e^{- 2 y} y$ と $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.7.1

$e^{- 2 y}$ と $y$ を並べ替えます。

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.7.2

$y e^{- 2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.7.3

$y e^{- 2 y}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.7.4

公分母の分子をまとめます。

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.8.1

$e^{- 2 y}$ を $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.18.8.1.1

$e^{- 2 y}$ を $y e^{- 2 y} \cdot 2$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 13.18.8.1.2

$1$ を掛けます。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

ステップ 13.18.8.1.3

$e^{- 2 y}$ を $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ で因数分解します。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

ステップ 13.18.8.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 13.19

項を並べ替えます。

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{- 2 y}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

ステップ 15.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

ステップ 15.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

ステップ 15.1.4

$\frac{e^{- 2 y}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.5.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.5.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.6

公分母を利用して $e^{- 2 y} y$ と $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 15.1.6.1

$e^{- 2 y}$ と $y$ を並べ替えます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.6.2

$y e^{- 2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.6.3

$y e^{- 2 y}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.7.1

$e^{- 2 y}$ を $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.7.1.1

$e^{- 2 y}$ を $y e^{- 2 y} \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

ステップ 15.1.7.1.2

$1$ を掛けます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

ステップ 15.1.7.1.3

$e^{- 2 y}$ を $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

ステップ 15.1.7.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.2

$e^{- 2 y} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.3

$e^{- 2 y} x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

$e^{- 2 y}$ を $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 15.5.1.1

$e^{- 2 y}$ を $e^{- 2 y} x \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.5.1.2

$e^{- 2 y}$ を $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

ステップ 15.5.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例