微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $\frac{x}{x + 1} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$x$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 2.3.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 2.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

ステップ 2.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

ステップ 2.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 2.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.5

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

ステップ 3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

ステップ 3.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

ステップ 3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y x + y |) = x + C$

ステップ 3.6

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

ステップ 3.7

対数の定義を利用して $\ln (| y x + y |) = x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + C} = | y x + y |$

ステップ 3.8

$y$ について解きます。

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ステップ 3.8.1

方程式を $| y x + y | = e^{x + C}$ として書き換えます。

$| y x + y | = e^{x + C}$

ステップ 3.8.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y x + y = \pm e^{x + C}$

ステップ 3.8.3

$y$ を $y x + y$ で因数分解します。

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ステップ 3.8.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

ステップ 3.8.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

ステップ 3.8.3.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

ステップ 3.8.3.4

$y$ を $y (x) + y \cdot 1$ で因数分解します。

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

ステップ 3.8.4

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ の各項を $x + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.8.4.1

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

ステップ 3.8.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.8.4.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

ステップ 3.8.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$

微分積分 例

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