微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

$x$ と $y^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y^{2} x}$

ステップ 1.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $y \sqrt{x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sqrt{x}))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \sqrt{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$| y | = e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$ を $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

微分積分 例

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