微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (y - 3)$ ; where $y (0) = 4$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{(y + 2) (y - 3)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

ステップ 1.2

$(y + 2) (y - 3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y + 2}$

ステップ 2.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(y + 2) (y - 3)$ です。

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.4

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.5

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.1

$y + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.1.2

$(A) (y - 3)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.3

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.4

$y - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.1.6.4.2

$(B) (y + 2)$ を $1$ で割ります。

$1 = A y - 3 A + (B) (y + 2)$

ステップ 2.2.1.1.6.5

分配則を当てはめます。

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot 2$

ステップ 2.2.1.1.6.6

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$1 = A y - 3 A + B y + 2 B$

ステップ 2.2.1.1.7

$- 3 A$ を移動させます。

$1 = A y + B y - 3 A + 2 B$

ステップ 2.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2.1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 3 A + 2 B$

ステップ 2.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

ステップ 2.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 3 A + 2 B$

ステップ 2.2.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

ステップ 2.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.1

$1 = - 3 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 3 (- B) + 2 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1

$- 3 (- B) + 2 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$1 = 3 B + 2 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.2

$3 B$ と $2 B$ をたし算します。

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3

$1 = 5 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.1

方程式を $5 B = 1$ として書き換えます。

$5 B = 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2

$5 B = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$5 B = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{5}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{5}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{5})$

$B = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.2.1

$- 1$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.5.2

$\frac{1}{y + 2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{1}{(y + 2) \cdot 5} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.5.3

$5$ を $y + 2$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

ステップ 2.2.1.5.5

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{y - 3}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{5}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{y + 2} d y) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.5

$u_{1} = y + 2$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$u_{1} = y + 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 2.2.5.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 2.2.5.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{5}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

ステップ 2.2.8

$u_{2} = y - 3$ とします。次に $d u_{2} = d y$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$u_{2} = y - 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1.1

$y - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

ステップ 2.2.8.1.2

総和則では、 $y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.8.1.4

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 2.2.9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

ステップ 2.2.10

簡約します。

$- \frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

ステップ 2.2.11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

ステップ 2.2.11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $y - 3$ で置き換えます。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\ln (| y + 2 |)$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{1}{5}$ と $\ln (| y - 3 |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$

ステップ 3.2

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ の各項に $5$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ の各項に $5$ を掛けます。

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

ステップ 3.2.3.1.2

$5$ を $C$ の左に移動させます。

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)} = | y - 3 |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}) = \ln (| y - 3 |)$

ステップ 3.5.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)})$ を展開します。

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \ln (e) = \ln (| y - 3 |)$

ステップ 3.5.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 3 |)$

ステップ 3.5.2.3

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ に $1$ をかけます。

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |) = \ln (| y - 3 |)$

ステップ 3.5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 2 |) - \ln (| y - 3 |) = - 5 x - 5 C$

ステップ 3.5.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$

ステップ 3.5.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |})} = e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 5 x - 5 C} = \frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}$

ステップ 3.5.7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1

方程式を $\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$ として書き換えます。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.2

両辺に $| y - 3 |$ を掛けます。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

ステップ 3.5.7.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.3.1

$| y - 3 |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

ステップ 3.5.7.3.1.2

式を書き換えます。

$| y + 2 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

ステップ 3.5.7.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.1

方程式を $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ として書き換えます。

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$

ステップ 3.5.7.4.2

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ の各項を $e^{- 5 x - 5 C}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.2.1

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ の各項を $e^{- 5 x - 5 C}$ で割ります。

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

ステップ 3.5.7.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.2.2.1

$e^{- 5 x - 5 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

ステップ 3.5.7.4.2.2.1.2

$| y - 3 |$ を $1$ で割ります。

$| y - 3 | = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

ステップ 3.5.7.4.3

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

ステップ 3.5.7.4.4

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

ステップ 3.5.7.4.5

$y$ について $y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.1

両辺に $e^{- 5 x - 5 C}$ を掛けます。

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.1.1

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.5.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

$- 5 x$ と $- 5 C$ を並べ替えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

$- 5 x$ と $- 5 C$ を並べ替えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.2.1

$e^{- 5 x - 5 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = y + 2$

ステップ 3.5.7.4.5.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} - y = 2$

ステップ 3.5.7.4.5.3.2

方程式の両辺に $3 e^{- 5 C - 5 x}$ を足します。

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.3

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x} - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.3.1

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x}$ で因数分解します。

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1 = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.3.3

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.4

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ の各項を $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.1

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ の各項を $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ で割ります。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.2.1

$e^{- 5 C - 5 x} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.5.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

ステップ 3.5.7.4.6

$y$ について $y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.1

両辺に $e^{- 5 x - 5 C}$ を掛けます。

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.1.1

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

$- 5 x$ と $- 5 C$ を並べ替えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

$- 5 x$ と $- 5 C$ を並べ替えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1

$- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.1

$e^{- 5 x - 5 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

$- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - (y + 2)$

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 1 \cdot 2$

ステップ 3.5.7.4.6.2.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 2$

ステップ 3.5.7.4.6.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2$

ステップ 3.5.7.4.6.3.2

方程式の両辺に $3 e^{- 5 C - 5 x}$ を足します。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.3

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x} + y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.3.1

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x}$ で因数分解します。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.3.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.3.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1 = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.3.4

$y$ を $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1$ で因数分解します。

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ の各項を $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.1

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ の各項を $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ で割ります。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.2.1

$e^{- 5 C - 5 x} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (2) + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3.3

$- 1$ を $3 e^{- 5 C - 5 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (2 - 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3.4.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 3.5.7.4.7

すべての解をまとめます。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \frac{2 + 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.3

$e^{- 5 x + C}$ を $e^{- 5 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.4

$e^{- 5 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.6

$e^{- 5 x + C}$ を $e^{- 5 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

ステップ 4.7

$e^{- 5 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。