微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y + 2$ を掛けます。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

ステップ 1.2

$y + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ の $0$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ として書き換えます。

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1.1.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

ステップ 4.3.1.1.1.2

共通因数を約分します。

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

ステップ 4.3.1.1.1.3

式を書き換えます。

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

ステップ 4.3.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- 1 + K = 2 + 4$

ステップ 4.3.1.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$- 1 + K = 6$

ステップ 4.4

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$K = 6 + 1$

ステップ 4.4.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$K = 7$

ステップ 5

$7$ を $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$7$ を $K$ に代入します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

微分積分 例

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