微分積分例

$\frac{d z}{d t} = 8 t e^{z}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{z}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{1}{e^{z}} (8 t e^{z})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 \frac{1}{e^{z}} (t e^{z})$

ステップ 1.2.2

$8$ と $\frac{1}{e^{z}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (t e^{z})$

ステップ 1.2.3

$e^{z}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$e^{z}$ を $t e^{z}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 t$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{z}} d z = 8 t d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{z}} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{z}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{z})}^{- 1} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{z})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{z \cdot - 1} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ を $z$ の左に移動させます。

$\int 1 e^{- 1 \cdot z} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.1.2.1.3

$- 1 z$ を $- z$ に書き換えます。

$\int 1 e^{- z} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{- z}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{- z} d z = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.2

$u = - z$ とします。次に $d u = - d z$ すると、 $- d u = d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = - z$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$- z$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [- z]$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$- \frac{d}{d z} [z]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u} d u = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{u} d u = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 t d t$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $- z$ で置き換えます。

$- e^{- z} + C_{1} = \int 8 t d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$- e^{- z} + C_{1} = 8 \int t d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ を $8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$- e^{- z} + C_{1} = 4 t^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$

ステップ 3

$z$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{- z}}{- 1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{- z}}{1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$e^{- z}$ を $1$ で割ります。

$e^{- z} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{4 t^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- z} = - 1 \cdot (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot (4 t^{2})$ を $- (4 t^{2})$ に書き換えます。

$e^{- z} = - (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- z} = - 4 t^{2} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{- z} = - 4 t^{2} - 1 \cdot K$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$e^{- z} = - 4 t^{2} - K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- z}) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$- z$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- z})$ を展開します。

$- z \ln (e) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- z \cdot 1 = \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 3.4

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- z}{- 1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{z}{1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

$z$ を $1$ で割ります。

$z = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$z = - 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$ を $- \ln (- 4 t^{2} - K)$ に書き換えます。

$z = - \ln (- 4 t^{2} - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$z = - \ln (- 4 t^{2} + K)$

微分積分 例

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