微分積分例

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y - x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 x y - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

ステップ 1.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

ステップ 2

$N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y^{2} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

ステップ 2.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x = 2 x$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x = 2 x$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 2 x y - x$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

ステップ 5.2

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $2 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

ステップ 5.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 5.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 5.7.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 5.7.3

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 5.7.4

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.5

$y x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.6

$y x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.7

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.8

$2$ を $y x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.7.9

括弧を削除します。

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

ステップ 5.8

項を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $2 y x^{2} - x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.3

$2 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y x^{2}$ の微分係数は $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.5

$- x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.7

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.8

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.9

$\frac{2}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.3.10.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

ステップ 9.1.2

$y^{2} + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

ステップ 9.1.2.2

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

ステップ 10

$y^{2}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y^{2} d y$

ステップ 10.3

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$2$ を $2 y x^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.4

$y x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.5

$y x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.7.1

$x^{2}$ を $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.7.1.1

$x^{2}$ を $y x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.7.1.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.7.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.7.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 12.1.8

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2

$\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

ステップ 12.3

$\frac{y^{3}}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 12.4.1

$\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 12.4.3

$\frac{y^{3}}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

ステップ 12.4.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.5

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.5

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.6

$3$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

ステップ 12.6.8

$2$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$

微分積分 例

微分積分例