微分積分例

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - 5 x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

ステップ 2.2

$- 5 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

ステップ 3

$N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x y^{2} + 4 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.3.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$4 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

ステップ 3.4.2

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$0 = y^{2}$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$0 = y^{2}$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$0$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

ステップ 5.3

$x y^{2} + 4 y^{2}$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x y^{2} + 4 y^{2}$ を $N$ に代入します。

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

ステップ 5.3.2

$0$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

ステップ 5.3.3

$y^{2}$ を $x y^{2} + 4 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$y^{2}$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

ステップ 5.3.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

ステップ 5.3.4

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x + 4}$

ステップ 5.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x + 4}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

ステップ 6.2

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 6.2.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 6.2.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 6.4

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

ステップ 6.5

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (| x + 4 |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

ステップ 6.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

ステップ 7

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x + 4}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$- 5 x$ に $\frac{1}{x + 4}$ をかけます。

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2

$- 5 x \frac{1}{x + 4}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{x + 4}$ をまとめます。

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ と $\frac{- 5}{x + 4}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.5

$x y^{2} + 4 y^{2}$ に $\frac{1}{x + 4}$ をかけます。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.6

$x y^{2} + 4 y^{2}$ に $\frac{1}{x + 4}$ をかけます。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.7

$y^{2}$ を $x y^{2} + 4 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.7.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.7.2

$y^{2}$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.7.3

$y^{2}$ を $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.8

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.1

共通因数を約分します。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

ステップ 7.8.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = y^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 12.3

$\frac{1}{3} y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{3} y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 12.5

$0$ と $\frac{d g}{d x}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

ステップ 13

$- \frac{5 x}{x + 4}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

ステップ 13.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

ステップ 13.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

ステップ 13.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

ステップ 13.6

$x$ を $x + 4$ で割ります。

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ステップ 13.6.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x$

$0$

ステップ 13.6.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

ステップ 13.6.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

ステップ 13.6.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 4$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

ステップ 13.6.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

ステップ 13.6.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

ステップ 13.7

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

ステップ 13.8

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

ステップ 13.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

ステップ 13.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

ステップ 13.11

$4$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

ステップ 13.12

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.12.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.12.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 13.12.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 13.12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 13.12.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 13.12.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 13.12.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 13.13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

ステップ 13.14

簡約します。

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

ステップ 13.15

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

ステップ 15.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.2.1

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (| x + 4 |)$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

ステップ 15.1.2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x + 4 |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

ステップ 15.1.3

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

ステップ 15.1.4

$- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ を掛けます。

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ステップ 15.1.4.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

ステップ 15.1.4.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

ステップ 15.1.5

${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 15.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

ステップ 15.1.5.2

$4$ に $5$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

ステップ 15.2

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 15.3

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 15.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 15.5

分子を簡約します。

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ステップ 15.5.1

$\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 15.5.1.1

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ と $3$ を並べ替えます。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

ステップ 15.5.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ を簡約します。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

ステップ 15.5.2

${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 15.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

ステップ 15.5.2.2

$20$ に $3$ をかけます。

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例