微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 1) = 8$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \cot (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

ステップ 2.3

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ の $- 1$ を $x$ に、 $8$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$8 = \ln (| \sin (- 1) |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$ として書き換えます。

$\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\sin (- 1)$ の値を求めます。

$\ln (| - 0.0174524 |) + C = 8$

ステップ 4.2.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 0.0174524$ と $0$ の間の距離は $0.0174524$ です。

$\ln (0.0174524) + C = 8$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $\ln (0.0174524)$ を引きます。

$C = 8 - \ln (0.0174524)$

ステップ 5

$8 - \ln (0.0174524)$ を $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$8 - \ln (0.0174524)$ を $C$ に代入します。

$y = \ln (| \sin (x) |) + 8 - \ln (0.0174524)$

ステップ 5.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

ステップ 5.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を掛けます。

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

ステップ 5.3.2

$0.0174524$ を $0.0174524$ で因数分解します。

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524 (1)}) + 8$

ステップ 5.3.3

分数を分解します。

$y = \ln (\frac{1}{0.0174524} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

ステップ 5.3.4

$1$ を $0.0174524$ で割ります。

$y = \ln (57.29868849 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

ステップ 5.3.5

$| \sin (x) |$ を $1$ で割ります。

$y = \ln (57.29868849 | \sin (x) |) + 8$

微分積分 例

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