微分積分例

$y - x \frac{d y}{d x} = 9 x^{3}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$- x \frac{d y}{d x} + y = 9 x^{3}$

ステップ 1.2

$- x \frac{d y}{d x} + y = 9 x^{3}$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{9 x^{3}}{- x}$

ステップ 1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{9 x^{3}}{- x}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{9 x^{3}}{- x}$

ステップ 1.4.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{9 x^{3}}{- x}$

ステップ 1.5

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x$ を $9 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (9 x^{2})}{- x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{9 x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (9 x^{2})$

ステップ 1.6

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 9 \cdot x^{2}$

ステップ 1.7

$y$ を $\frac{y}{- x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 9 \cdot x^{2}$

ステップ 1.8

$y$ と $\frac{1}{- x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 9 \cdot x^{2}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{1}{- x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{- x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

ステップ 2.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 9 \cdot x^{2})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 9 \frac{1}{x} x^{2}$

ステップ 3.4

$- 9$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 9}{x} x^{2}$

ステップ 3.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 9}{x} (x \cdot x)$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 9}{x} (x \cdot x)$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 9 x$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 9 x$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 9 x d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int - 9 x d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $- 9$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = - 9 \int x d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{x} y = - 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 7.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} y = - 9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$- 9$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = \frac{- 9}{2} x^{2} + C$

ステップ 7.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{9}{2} x^{2} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{9}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{2}$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x^{2} \cdot 9}{2} + C$

ステップ 8.2.2

$9$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y}{x} = - \frac{9 x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{9 x^{2}}{2} + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{9 x^{2}}{2} + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{9 x^{2}}{2} + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{9 x^{2}}{2} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

$- \frac{9 x^{2}}{2} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$x$ と $\frac{9 x^{2}}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x (9 x^{2})}{2} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{9 (x^{1} x^{2})}{2} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{9 x^{1 + 2}}{2} + C x$

ステップ 8.4.2.1.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = - \frac{9 x^{3}}{2} + C x$

微分積分 例

微分積分例