微分積分例

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

ステップ 1.2

$x^{2} + \frac{1}{36}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{36}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{36}$ を ${(\frac{1}{6})}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4

簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{6}$ で割ります。

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{6}$ で割ります。

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.4.4

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$6 \arctan (6 x) = t + K$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$6 \arctan (6 x) = t + K$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\arctan (6 x)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $x$ を取り出します。

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

ステップ 3.3

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ の $0$ を $t$ に、 $2$ を $x$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ として書き換えます。

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

ステップ 6.4

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $K$ を取り出します。

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

ステップ 6.5

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{0}{6} + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.5.1.1

$0$ を $6$ で割ります。

$0 + K = \arctan (12)$

ステップ 6.5.1.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = \arctan (12)$

ステップ 6.6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$\arctan (12)$ の値を求めます。

$K = 1.48765509$

ステップ 6.7

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

ステップ 6.8

$K$ について解きます。

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ステップ 6.8.1

括弧を削除します。

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

ステップ 6.8.2

括弧を削除します。

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

ステップ 6.8.3

$3.14159265$ と $1.48765509$ をたし算します。

$K = 4.62924774$

ステップ 6.9

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.9.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.9.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.9.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.10

$\tan (\frac{0}{6} + K)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.11

$4.62924774 + π n$ と $1.48765509 + π n$ を $1.48765509 + π n$ にまとめます。

$K = 1.48765509 + π n$

ステップ 7

$1.48765509 + π n$ を $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1.48765509 + π n$ を $K$ に代入します。

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$

微分積分 例

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