微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y \tan (x)$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

ステップ 1.2

$y$ を $- y \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

ステップ 1.3

$y$ と $- 1 \tan (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

ステップ 2

$P (x) = - 1 \tan (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

ステップ 2.2

$- 1 \tan (x)$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \tan (x) d x}$

ステップ 2.2.2

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (\sec (x))}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sec^{- 1} (x)$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 2.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 2.8

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$1 \cos (x)$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

括弧を移動させます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2.1.2

$\cos (x)$ と $- 1 \tan (x)$ を並べ替えます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2.1.3

括弧を付けます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2.1.4

正弦と余弦に関して $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ を書き換えます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2.1.5

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.2.2

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3.4

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 7.2

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.2.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 7.2.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 7.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

ステップ 7.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

ステップ 7.5

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ に書き換えます。

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

ステップ 7.6.2

簡約します。

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ステップ 7.6.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

ステップ 7.6.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

ステップ 7.6.2.2.2

式を書き換えます。

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

ステップ 7.6.2.3

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) y = u^{2} + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

ステップ 8

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ の各項を $\cos (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.1.2.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.2

分数を分解します。

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

ステップ 8.3.1.4

$C$ を $1$ で割ります。

$y = \cos (x) + C \sec (x)$

微分積分 例

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