微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \sqrt{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (3 x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{\sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.4

$3$ と $\frac{\sqrt{y}}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

ステップ 1.2.5

$\frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x^{2}$ と $\frac{3 \sqrt{y}}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.5.2

$\frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y}$ と $\sqrt{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

ステップ 1.2.5.4

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

ステップ 1.2.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

ステップ 1.2.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

ステップ 1.2.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

ステップ 1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

ステップ 1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{1}}{y}$

ステップ 1.2.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

ステップ 1.2.7

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

ステップ 1.2.7.2

$x^{2} \cdot 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3$

ステップ 1.2.8

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 3 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$y = (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

まとめる。

$y = \frac{x^{3} x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{3 + 3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{x^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

まとめる。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.6

まとめる。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.2

$K$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.3

$K$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$\frac{x^{3} K}{4}$ と $\frac{K x^{3}}{4}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

$x^{3}$ と $K$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$\frac{K x^{3}}{4}$ と $\frac{K x^{3}}{4}$ をたし算します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + K$

微分積分 例

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