微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 4$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

ステップ 1.2

$y^{2} + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 4} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 4} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $4$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ です。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{y}{2})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ を $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

ステップ 3.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{y}{2})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

ステップ 3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

ステップ 3.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.2

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{2} = \tan (2 x + 2 K)$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 2 \tan (2 x + 2 K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = 2 \tan (2 x + K)$

微分積分 例

微分積分例