微分積分例

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + y e^{2 x y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

ステップ 1.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{2 x y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 2 x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

ステップ 1.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

ステップ 1.3.7

$e^{2 x y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ と $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

ステップ 1.4.3

$2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

ステップ 2

$N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

ステップ 2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{2 x y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x y$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $2 x y$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

ステップ 2.5.5

$e^{2 x y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

ステップ 2.6.2

$2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

ステップ 5.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

ステップ 5.3

$u = 2 x y$ とします。次に $d u = 2 x d y$ すると、 $\frac{1}{2 x} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.3.1

$u = 2 x y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$2 x y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 5.3.1.2

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x \cdot 1$

ステップ 5.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x$

ステップ 5.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

ステップ 5.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2 x}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2 x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$\frac{1}{2 x}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

ステップ 5.6.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

ステップ 5.6.2.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 5.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 5.8

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 5.9

$u$ のすべての発生を $2 x y$ で置き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.2

総和則では、 $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x y$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.3

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.6

$e^{2 x y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.7

$2$ と $\frac{e^{2 x y}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.8

$\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.3.9.2

$e^{2 x y} y$ を $1$ で割ります。

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

ステップ 8.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $y e^{2 x y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

ステップ 9.1.2

$x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$y e^{2 x y}$ から $y e^{2 x y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 10

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 10.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x y}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例